Matematyka
Matematyka była niegdyś rozumiana jako nauka o liczbach (arytmetyka) i figurach (bryłach) geometrycznych (geometria). Do dziś w popularnych encyklopediach określana jest jako nauka o wielkościach, czyli o stosunkach ilościowych i formach przestrzennych. Z biegiem czasu dodano również do obszaru zainteresowań
matematyki wszystko, co wiąże
się z pojęciem granicy.
Obecnie definicje te nie są w pełni adekwatne. Niestety nie ma takiej, która by zadowoliła wszystkich. Chyba najlepiej określić matematykę (zdając sobie sprawę z niedoskonałości tej definicji) jako najogólniejszą naukę dedukcyjną.
Historyczne poglądy na matematykę
Platon widział w matematyce sposób na obiektywne poznawanie realnie istniejącego świata idei niepoznawalnych innymi metodami aniżeli za pomocą rozumu. Arystoteles uważał, że matematyka to zajęcie, w którym bada się relacje pomiędzy określonymi obiektami, i w której istnienie jest przypisywane owym relacjom, a nie samym obiektom. Wielu matematyków, fizyków i filozofów widziało w matematyce wiedzę praktyczną, system ścisłego wnioskowania, działalność rozumu pozwalającą dedukować prawdy absolutne w sensie obiektywnym, lub prawdy absolutne w sensie prawd dostępnych ludzkiemu poznaniu.
Szczególnie burzliwym okresem badań nad podstawami matematyki był koniec wieku XIX i początek wieku XX aż do lat 30., kiedy badania prowadzili tacy uczeni jak Leopold Kronecker i Luitzen Brouwer - zwolennicy konstruktywizmu, Georg Cantor - twórca teorii mnogości zwalczany przez Kroneckera, Richard Dedekind - twórca spójnej konstrukcji liczb rzeczywistych, Bertrand Russell i Alfred Whitehead - przedstawiciele logicyzmu, David Hilbert - twórca i inicjator programu oparcia matematyki na ścisłych i pozwalających na analizę podstawach (początek formalizmowi) oraz wreszcie Alonzo Church, Emil Leon Post i Kurt Gödel, który wykazał, że formalizm jest koncepcją niemożliwą do realizacji w konstruktywny sposób. Nowe możliwości badania podstaw matematyki otwarły się wobec rozwinięcia przez wspomnianych matematyków teorii dowodu oraz stworzenie przez Alfreda Tarskiego teorii modeli zajmującej się rozmaitymi realizacjami danego zboru aksjomatów i związków między nimi. Następne lata, a zwłaszcza druga połowa XX wieku, wprowadziły do arsenału filozofii matematyki koncepcje antropologiczne, postulujące związek matematyki z kulturą i socjologią, koncepcje quasiempiryczne, zakładające, że wiedza matematyczna jest swego rodzaju uogólnieniem wiedzy powszechnie dostępnej, ale jednak opartej na rzeczywistym empirycznym doświadczeniu itp. Swoje prace publikowali wówczas tacy filozofowie matematyki jak Lakatos, Quine, Putnam i inni.
Pytania filozoficzne o zakres i znaczenie matematyki
Podobnie jak brak uznanej i akceptowanej przez wszystkich definicji czym jest matematyka, także kwestia co należy a co nie należy do tej nauki pozostaje otwarta. Problemy te wiążą się ze sobą w wyraźny sposób, jako że klasyfikacja treści matematycznych idzie w parze z definicją, czym jest nauka analizująca ten zakres pojęć. Z pewnością można twierdzić, że matematyka jest nauką ścisłą opartą na dedukcji, czyli metodzie dochodzenia do wniosków w oparciu o prawa logiki w sposób absolutnie pewny (w przeciwieństwie do nauk przyrodniczych czy dziedzin humanistycznych, w których występuje element indukcji, uogólniania prawd ogólnych z doświadczeń szczegółowych). Przedmiotem matematyki są stosunki i relacje zachodzące pomiędzy odpowiednio definiowanymi obiektami abstrakcyjnymi, takimi jak zbiory, liczby, figury geometryczne czy przestrzenie a nawet całe teorie.
Nadal nie brak nierozwiązanych kwestii filozoficznych dotyczących matematyki. Brak satysfakcjonującej odpowiedzi na pytania o naturę obiektów matematycznych, o to w jakim sensie można mówić o ich istnieniu, o sens pojęcia prawdy i prawdziwości zdań matematycznych. (Wbrew pozorom ani twierdzenia Gödla, ani koncepcje Tarskiego nie zakończyły dyskusji na ten temat. Warto pamiętać, że dowód twierdzenia Gödla polega na pokazaniu zdania prawdziwego, które jest niedowodliwe na gruncie arytmetyki Peano, zatem dowodliwość nie może być przyjęta za kryterium prawdziwości.) Brak odpowiedzi na zagadnienia związane z olbrzymim sukcesem matematyki w zastosowaniach w naukach przyrodniczych; jakie jest źródło owego sukcesu? Lista pytań pozostaje otwarta i nadal toczy się dyskusja na tematy związane z metamatematyką i filozofią matematyki.
Podobnie nie jest jasne, w ramach jakiego procesu ludzie tworzą matematykę. Czy proces ten ma charakter niczym nieskrępowanej twórczości, czy może jest to tylko odkrywanie pewnej obiektywnej rzeczywistości? Można zaryzykować twierdzenie, że chociaż dla pracy matematyka nad konkretnym problemem odpowiedź na to pytanie zwykle nie ma znaczenia, to jednak nie jest to prawda absolutna – istnieją takie problemy, na które odpowiedź właśnie zależy od tego, czy ktoś uważa że matematykę się tworzy, czy też że się ją odkrywa.
Więcej streszczeń na temat Matematyka