1. Procedura Analizy
Czynnikowej:
Ø Przedmiotem analizy czynnikowej jest macierz danych, zawierająca n realizacji
m
zmiennych:
X=
nxm
gdzie i=1,...,n; j=1,...,m; m<n
Ø W wyniku transformacji wartości zmiennych za pomocą formuły standaryzacji uzyskuje się zmienne o jednakowej wartości oczekiwanej (równej zero) i jednostkowym odchyleniu standardowym:
Z=nxm
Ø Zakłada się, że pomiędzy zmiennymi Xj(j=1,...,m) zachodzą związki, których siłę i kierunek określają współczynniki korelacji liniowej Pearsona zawarte w macierzy:
R=mxm
(k¹ j),
(k=j);
zij
zik
n
S
1gdzie:
n
i=1
1rkj = ZTZ=
Ø Przyjmuje się, że źródłem wzajemnych zależności między zmiennymi są określone wspólne czynniki. Ponadto każda zmienna charakteryzuje się pewnymi specyficznymi właściwościami. Składniki wspólne są uznawane za nośniki tej samej informacji, co prowadzi do wniosku, że można je zastąpić nowymi, syntetycznymi czynnikami głównymi.
Uzyskane czynniki główne są wzajemnie ortogonalne, a zatem zawarte w nich zasoby informacyjne mają charakter unikatowy. Przy czym ich liczba jest mniejsza od liczby zmiennych.
Podstawą identyfikacji składników wspólnych i specyficznych jest w analizie czynnikowej podział wariancji poszczególnych zmiennych na wariancję wspólną i specyficzną, co przedstawia się następująco:
vj= hj2+bj2
gdzie:
vj - wariancja całkowita j-tej zmiennej
hj2 - zasób zmienności wspólnej j-tej zmiennej (część wariancji, która jest objaśniana przez czynniki główne)
bj2 - zasób zmienności specyficznej j-tej zmiennej (swoistość)
mPrzy czym:
1
z2ij=1
S
n
i=1vj =
bj2 = 1- hj2
Ø Konieczne jest również spełnienie poniższych założeń:
ü czynniki wspólne nie są skorelowane ze sobą;
ü czynniki specyficzne również nie są ze sobą skorelowane;
ü czynniki wspólne nie są skorelowane z czynnikami specyficznymi;
ü czynniki wspólne są zestandaryzowane, tzn. E(Fi)=0 i V(Fi)=1;
Ø Przedstawione założenia umożliwiają sformułowanie podstawowego modelu matematycznego analizy czynnikowej w postaci układu równań liniowych:
Z = AF + BU
gdzie:
Z-macierz zmiennych
A-macierz ładunków czynnikowych składników wspólnych
F-macierz czynników wspólnych
B-macierz ładunków czynnikowych składników specyficznych
U-macierz czynników specyficznych
Ø W modelu analizy czynnikowej zakłada się, że każda z obserwowalnych zmiennych jest funkcją liniową zmiennych nieobserwowalnych (t.zw. czynników wspólnych) oraz pojedynczej zmiennej specyficznej.
W związku z tym uszczegółowione równanie analizy czynnikowej przedstawia się następująco:
Zj =
ajlFl+bjUj
l=1
p
S
j = 1,...,m; l =1,...,p; p<=m
gdzie:
m - liczba zmiennych pierwotnych
p - liczba czynników głównych (wspólnych)
Zj - j-ta zmienna standaryzowana (pierwotna)
Fl - l-ty czynnik wspólny
Uj - j-ty czynnik swoisty
ajl – ładunek czynnikowy l-tego czynnika Fl w j-tej zmiennej obserwowalnej
Ø W przedstawionym modelu struktura zależności pierwotnego zbioru zmiennych jest reprezentowana przez macierz kowariancji:
V = AAT + B2
gdzie:
V = mxm - macierz kowariancji zmiennych
S
ajl
akl
l=1
p
p
(k ¹ j)
(k = j)
+ bj2
a2jl
SVkj =
l=1
Ø Po usunięciu z równania składnika reprezentującego wariancję specyficzną otrzymuje się tzw. zredukowaną macierz korelacji:
~
R = AAT
gdzie:
~
~
R = mxm - zredukowana macierz korelacji zmiennych
rkj
(k ¹ j)
~(k = j)
hj2rkj =
Ø Podstawowe zadanie analizy czynnikowej sprowadza się do rozwiązania równania:
R = AAT
ze względu na macierz A, czyli wyznaczenia ładunków czynnikowych składników wspólnych.
Znalezienie tego rozwiązania kończy właściwą analizę czynnikową.